Nella teoria delle opzioni, la Put-Call Parity è una relazione che stabilisce un legame tra i premi di due opzioni, una call e una put di stile “europeo” con strike e scadenza identici, e il futures sottostante (total return).
Comprendere questa relazione è cruciale per chi opera con le opzioni, poiché fornisce una base per prezzare correttamente un’opzione e identificare eventuali opportunità di arbitraggio.
La Put-Call Parity altro non è che una formula che ci indica quale dovrebbe essere la relazione tra i due premi affinché non vi sia alcuna opportunità di arbitraggio.
Formula della Put-Call Parity
C – P = F – K ⋅ e−rT
dove:
C = premio dell’opzione call
P = premio dell’opzione put
F = prezzo corrente del futures
K = prezzo di esercizio (strike) delle opzioni
r = tasso di interesse privo di rischio
T = tempo alla scadenza espresso in anni
Relazione tra opzioni call e put
La Put-Call Parity stabilisce che, affinché non esistano possibilità di arbitraggio, la differenza tra il premio di un’opzione call e quello di un’opzione put con sottostante, strike e scadenza identici dovrà essere uguale al prezzo corrente del futures sottostante meno lo strike attualizzato al risk-free rate.
Vediamo un esempio pratico:
- Prezzo corrente del futures (F) = $100
- Strike (K) = $95
- Premio dell’opzione call (C) = $9
- Premio dell’opzione put (P) = $2
- Tasso di interesse privo di rischio (r) = 5% per un anno
- Tempo alla scadenza = 1 anno
Calcoliamo innanzitutto il valore attuale dello strike:
K ⋅ e−rT = 95 ⋅ e−(0.05⋅1) ≈ 95 ⋅ 0,9512 = 90,37
calcoliamo poi la differenza tra i due premi:
C – P = 9 – 2 = 7
e infine la differenza tra il valore corrente del futures e quello dello strike attualizzato:
F – K ⋅ e−rT = 100 – 90,37 = 9,63
Ora, se confrontiamo i due membri della Put-Call Parity, osserviamo come non coincidano, poiché:
7 ≠ 9,63
il che implica l’esistenza di una possibile opportunità di arbitraggio.
Utilità della Put-Call Parity
1. Identificazione di opportunità di arbitraggio
Se i premi di due opzioni, call e put di stile “europeo” con futures sottostante (total return), strike e scadenza identici, non rispettano la Put-Call Parity, esiste un’opportunità di arbitraggio.
2. Valutazione e premio delle opzioni
La Put-Call Parity può permettere di capire se le opzioni sono prezzate correttamente.
Se si conoscono i premi di una call e di una put, sempre di stile “europeo” con strike, scadenza e futures sottostante identici, è possibile calcolare il prezzo implicito del futures e confrontarlo con il suo prezzo corrente per verificare se esistano opportunità di arbitraggio.
3. Verifica della coerenza dei premi
La Put-Call Parity può essere utilizzata per verificare l’efficienza di un dato mercato.
Un mancato allineamento dei premi alla formula, infatti, potrebbe rappresentare un segnale di inefficienza del mercato.
Esempio di arbitraggio utilizzando la Put-Call Parity
Riprendiamo l’esempio visto in precedenza, supponendo che il prezzo corrente dell’asset sia pari a $100, il premio dell’opzione call a $9, quello dell’opzione put a $2, lo strike a $95, il tasso di interesse privo di rischio al 5% e la scadenza a 1 anno.
Come detto, se valesse la Put-Call Parity, varrebbe la seguente relazione:
C – P = F – K ⋅ e−rT
ovvero, staremmo confrontando due portafogli:
PORTAFOGLIO 1 = C + K ⋅ e−rT
e
PORTAFOGLIO 2 = F +P
che, in caso di equilibrio, dovrebbero equivalere:
C + K ⋅ e−rT = F + P
Se andiamo a sostituire le incognite con i valori dell’esempio, però, osserviamo come ciò non sia vero, e come il primo portafoglio valga meno del secondo:
PORTAFOGLIO 1 = 9 + 90,37 = 99,37
PORTAFOGLIO 2 = 100 + 2 = 102
il che significa che esiste un’opportunità di arbitraggio che potremmo realizzare acquistando il PORTAFOGLIO 1 e vendendo il PORTAFOGLIO 2, ovvero:
- Vendendo l’opzione put, incassando $2
- Vendendo il futures sottostante, incassando $100
- Acquistando l’opzione call, pagando $9
- Investendo $90,37 in un risk-free ZC con nominale di $95
In questo modo, a scadenza potrò, grazie all’opzione call, riacquistare a $95 il futures venduto oggi a $100, guadagnando, oltre ai $5 di differenza di prezzo del futures, i $4,63 di risk-free e i $2 dell’opzione put venduta, al netto dei $9 pagati per l’opzione call.
Il risultato complessivo, non tenendo conto di eventuali costi di transazione, commissioni, etc., sarebbe pertanto il seguente:
$5 + $4,63 + $2 – $9 = $2,63
positivo, per l’appunto, per $2,63.
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